繻子織（朱子織）とも言われる「サテン」の秘密をさぐるシリーズ。
今回は、５枚繻子、６枚繻子について深掘りしようと思います。
５枚はともかく、６枚繻子なんて聞いたことがない？
いえいえ、６枚繻子は「変則繻子」ながら、山梨ハタオリ産地でもよく使われるものです。
シケンジョでは１年に１度くらいは「６枚繻子ってどういうのだっけ？」と機屋さんから電話がかかってきますし、以前ご紹介したやまなし縄文シルクスカーフでも、デジタルジャカード技術に６枚繻子が使われています。
今回は、タイトルにある「６枚繻子は１つしかない？」という問いについて考えながら、繻子織のバリエーションについてお伝えしたいと思います。
まずは下の図、２種類の５枚繻子と、６種類の６枚繻子をご覧ください。
５枚繻子は、見てのとおり２つの違う形があります。
しかし６枚繻子の方は６種類の違う形が描いてあるのに、なぜ「１つ」なの？という疑問が湧くのではないでしょうか？
結論から言うと、この６つは全て同じものです。
どうしてこれが同じなのか？ほかの種類の６枚繻子はないのか？
そんな疑問に答えるため、まず手始めに、５枚繻子が２つあるということを深掘りすることで、この問いの答えを探っていきたいと思います。
なお、組織図を描くときは、左下の角に必ず組織点「■」があるように描くことに統一しています。その角が組織点「■」ではないような切り取り方をした無数のパターンもありますが、それらは始めから除外していることを念頭においておいてください。
なお、組織図を描くときは、左下の角に必ず組織点「■」があるように描くことに統一しています。その角が組織点「■」ではないような切り取り方をした無数のパターンもありますが、それらは始めから除外していることを念頭においておいてください。
上の図は、５枚繻子の２つ、２飛びと３飛びを比べています。
薄いグレーで描いた「２飛び」の素地に載せると、当然「３飛び」の方はパターンが違うので、ズラしてもぴったり重ならないことが分ると思います。
ここで、この５枚繻子の２飛びパターンを、回転や反転などのいろいろな操作をしたときにどう変化するのか、実験をしてみましょう。
なぜ回転や反転をするのか？
織物組織は、繰り返しパターンの基本単位です。それは、タイルを敷き詰めるような繰り返し模様、タイリング、平面充填などと呼ばれるパターンの一種と見なすことができます。
タイリングできる平面図形には、左右対称や上下対称、回転対称、鏡映対称などのさまざまな種類の「対称性」による分類があります。
ここでは、対称性の分類に使われる手法をもとに、織物組織をただ羅列するだけではなく、パターン同士の関係を探ってみようと思います。
具体的には、左右や上下対称、回転対称、鏡映対称の性質を調べるための、「対称操作」という操作を組織図に対して行い、その操作のビフォーアフターを比べる、ということを行ってみます。
組織図への対称操作
それでは始めましょう。対称操作による組織図の分析です。
まずは５枚繻子２飛びを題材に取り上げて、下のような８つの操作を加えてみました。
ここで「鏡映」というのは文字通り鏡に映すような反転を意味します。北西軸、北東軸というのは、北を上にした地図上でそれぞれ北西、北東に向かう方向を鏡面とする反転を指すこととします。
上の図では、黒い■で描いた２飛びの原型パターンが、９０度回転、水平軸鏡映、など色分けした操作によって変化した結果が、色別に描いてあります。
とはいっても、並んだ結果を見ただけでは違いがよく分からないので、操作の結果を、もともとの「２飛び」パターンに重ねてみてみましょう。
その結果、操作なし、９０度回転、１８０度回転、２７０度回転では、元の２飛びパターンにピッタリ合致、つまり操作前後で形が変わっていませんが、それ以外の４つの鏡映操作では重なり合わず、違う形に変化したことが分ります。
その違う形とは、どんな形になってしまったのでしょうか？
今度は、同じ結果を「３飛び」パターンに重ねてみました。
そうすると、今度は垂直軸鏡映、水平軸鏡映、北西軸鏡映、北東軸鏡映という操作を行った結果が、３飛びにぴったり重なります。
つまり４つの鏡映操作の結果、「２飛び」だったものが「３飛び」に変化していた、ということが分ります。
まとめると、次のようになります。
このように５枚繻子の２飛びと３飛びは、それぞれを９０度単位で回転させても変化がないけれど、鏡に映すような反転を加えると、２飛びと３飛びが互いに入れ替わる、という関係にあります。
６枚繻子は１つしかない？
それでは今回のテーマ、６枚繻子ではどうでしょうか？１つしかないとはどういうことか、見ていきましょう。
同じように操作した結果生まれたパターンを、元の６枚繻子に重ねてみます。
そうすると、すべての結果が元の形に合致します。つまりどんな操作をしても形の変化がないことが分りました。
これにより、223443飛びの６枚繻子は、回転、鏡映操作をしても、形が変化しないということが分ります。
また６枚繻子には、223443飛びという並びしか存在しないことが、計算からも分かっています。
つまり、６枚繻子は１つしかないのです。
でもここで「最初の図では、いくつも違う形があったじゃない？」と思う方もいらっしゃると思います。
こんな風に、最初の図で示した６個の６枚繻子は、見た目こそ違って見えましたが、実はすべて同じ飛び数の並び方をしていて、「どこを切り取って見るかだけの違い」だったのです。
このように、９０度回転、１８０度回転、２７０度回転、垂直軸鏡映、水平軸鏡映、北西軸鏡映、北東軸鏡映という全ての操作を経ても形が変わらず、また、ただ一つの繻子織しかバリエーションがない（しかもそれが変則繻子）というのは、この世界には６枚繻子しかありません。
５枚繻子もまた特別です。サテンのルールを満たす最小の枚数（サイズ）であり、また２飛び、３飛びという、「正則繻子」しかバリエーションを持たないのも、この世に５枚繻子ただひとつしかありません。
７枚以降の残りのすべての枚数の繻子織は、必ず「正則繻子」と「変則繻子」を併せ持っています。
次回は、７枚繻子以降の世界がどうなっているか、探っていきたいと思います。
このシリーズ、前回は2016年の秋だったので、なんと６年半ぶりの再開でした。
次回はもっと早くお送りしようと思います。お楽しみに！
ここからは余談です。
今回の結果は、デジタルジャカード技術の研究開発をするなかで得られた副産物的な知見をもとにしています。
その研究の中では、様々な大きさの繻子織パターンについて、どんなバリエーションがあり得るかをプログラミングにより解き明かし、その関係性を探るプロセスがありました。
今回行った９０度回転、鏡映などの操作は、専門的には「対称操作」と呼ばれるものの一部です。
対称操作にもとづく平面図形の分類は、タイルや装飾のパターンの元になっていて、イスラム寺院のアラベスク装飾や、エッシャーのだまし絵などにも活用されています。
図形の対称操作では、回転には１２０度回転、７２度回転など、３６０度を整数で割った９０度以外の回転操作も考慮していますが、織物組織の場合、経糸と緯糸が９０度で交わっている構造体なので、ここでは９０度単位のみとしました。
化学では、こうした対称性は結晶や分子構造の分類を行うためにも必須のものです。
例えばアミノ酸にも、鏡に映した双子のような関係の右型、左型があります。これは５枚繻子の２飛びと３飛びの関係に似ています。このような鏡像関係のことをキラリティ、またはカイラリティとも呼びます。
数学では、「５枚繻子が２つあり、回転では変化しないけれど、鏡映では入れ替わる」というような今回の分類は、「点群」という概念で論じられ、「群論」という高等数学の分野になります。
わたしたちの身の回りには、様々な対称性が潜んでいます。
興味のある方はぜひ調べてみてください。
（五十嵐）